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摘要
基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，它研究的主要内容是考察偏微分方程在图像处理中的应用，近年来它成为图像研究的一个热点。由于它在图像研究中的重要意义，希望对偏微分方程在图像处理中的应用作一些简单的综述和探讨。
人们对偏微分方程的研究已经有近 300 年的历史。早期的偏微分方程问题产生于力学、几何、物理等理论学科和实际工程中。近年来，在生命科学、经济学中也出现了大量的偏微分方程问题。正是这些偏微分方程的出现，使得图像处理产生了不同的意义。本文从偏微分方程入手，首先介绍了图像与图像处理的基本知识，包括图像的分类、图像的数字化存储和图像处理的主要技术，并学习一些图像处理的简单实例，然后结合图像处理介绍算术均值滤波器的例子，及其数学模型经过推导后与偏微分方程之间的关系，给出偏微分方程与图像处理之间联系的直观印象；接着对偏微分方程在图像处理中的几个重要应用作比较详细的研究，包括图像的增强和还原、图像分割等，并将在这些方面中所应用的主要方法作了简单综述，其中有用于图像平滑的各向异性非线性扩散、用于图像恢复的变份方法、用于边界抽取的形变曲面技术、用于区域分割的变分方法以及自适应阈值算法，并介绍了方法模型的建立过程及相应的物理意义，给出了简要的评价。最后，对小波分析在图像处理中的应用作了简单的综述，并将偏微分方程与小波分析在图像处理中的关系进行了概述。
关键词 偏微分方程；图像处理；图像分割；各向异性非线性扩散；变分方法
Abstract
PDE(partial differential equation )-based image processing is an important branch of image processing field. It is about the application of PDE in image processing, and a hot subject in recent years. Because of its importance in image studying, there we wish to do some comprehension and research about it.
It has been more than 300 years since people first did the research on partial differential equation (PDE). The earliest partial differential equation problem was introduced in mechanics, geometry and physics. In recent years, many partial differential equation problems are also appeared in life science and economics. Because of these equations, image processing has totally different meanings now. In this paper, first, we review some basic knowledge of image and image processing, including image classification, digital storage and major technology of processing, and to learn several simple processing examples; Next, we instruct a mathematical model of a image processing filter, evolve it to get the final PDE, and show the relationship between PDE and the image processing to have a direct impression. Then we discuss the important application of PDE in image processing in details, such as image advance and restoration, image outline fitness, etc.. and the main technologies in these field including anisotropic diffusion method, variational method and so on. Last, we pay some attention on the second wavelet-based image processing, and present the relation between PDE-based and wavelet-based image processing.
Keywords partial differential equation image processing image segmentation anisotropic diffusion variational method
目录
摘要 I
Abstract II
第1章 绪论 1
1.1 问题的提出及研究意义 1
1.2 问题的发展过程及现状 2
1.3 论文工作简介 4
第2章 图像与图像处理的基本知识 5
2.1 图像的基本知识概述 5
2.2 图像的数学模型 5
2.3 数字图像处理的基本知识 7
2.3.1 图像处理技术的框架 8
2.3.2 数字图像处理的主要技术 9
2.3.3 图像处理的几个例子 10
2.4 本章小节 11
第3章 偏微分方程在图像处理中的应用 12
3.1 偏微分方程与图像处理 12
3.2 基于偏微分方程的图像处理的应用 14
3.2.1 用于图像平滑的各向异性的非线性扩散方法 15
3.2.2 用于图像恢复的变分方法 17
3.2.3 用于边界抽取的形变曲面技术 17
3.2.4 用于区域分割的变分方法 21
3.2.5 自适应阈值算法 22
3.3 本章小节 23
第4章 图像处理中的小波方法 24
4.1 小波变换的研究进展 24
4.2 偏微分方程与小波分析在图像处理中的关系 26
4.3 本章小结 27
结论 28
致谢 29
参考文献 30
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结论
正如文中所呈现的，基于偏微分方程的图像处理涉及了许多内容，单就偏微分方程来说就是一门方法繁多，包容性很强的学科，这就为图像处理提供了大量有效的不同算法。由于文献卷帙浩繁，我们在本文中就从最基础的知识开始引出正题，指出偏微分方程与图像处理的结合点，然后举出几个示例，给出基于偏微分方程的图像处理的直观印象。由于基于偏微分方程的图像处理大都是低层的图像处理，在正文中间部分我们给出了现在较为占主导地位的几种图像光滑、分割方法模型，并给出了一些综述性评价。最后，我们还对小波在图像处理中的应用进行了简略的叙述，并与偏微分方程进行了简略的联系，由于偏微分方程是一门极具包容性的学科，小波分析是描述图像的极其有力的一种工具，相信两者的结合能给图像处理注入新的力量，基于本身预备知识不足，对此就没有进一步的深入。
基于偏微分方程的图像处理应用广泛，各种技术丰富而巧妙，但由于时间的局限和自身知识储备的缺乏，许多相关问题都没有得到广泛和深入的研究，文中所述也只是浩瀚海洋中的冰山一角，更多的领域还有待发掘。
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